Gibbs phenomenon record

从数学的角度来看,我们将周期函数在第一类间断点处展开为FS,并收敛于二者中点,这本身并不那么“好”,因为这种收敛是【逐点】的,但这又很自然,因为被拟合的函数本身在这个地方就是【逐点】的,只是FS在间断点两边各取反向等值峰起,两者在波形上有差异

这意味着Lagrange当年对Fourier的否定,从一个数学家的立场来看,是正确的,在两人都假定拟合的效果是【波形完全相同】的情况下。在间断点的去心邻域上,随着FS项数增加,峰起值趋向9%(Gibbs phenomenon),在邻域上的位置趋向间断点,满足

虽然两者波形不同,但在FS项数趋向∞时,峰起值所在的峰起域也在收缩,第二峰起值收缩为零可以忽略,而第一峰起域处,可以猜测,在取项数极限为∞时,其【测度】趋向0。那么在FS项数确取∞时,峰起处便确取为单个不连续点。

我们再回过头来看FS展开的论述。从物理/能量的角度来看,对信号取平方积分求能量,峰起处取在【零测集】,积分为零,FS和f的能量相等,遵循能量守恒定律;从完备正交空间的角度来看,同样是取积分,峰起处取零测集直接决定了线性变换时其完备性不受影响。所以,Lagrange和Fourier对FS争执的关键就在于,当时人们对于【可积】的概念是模糊的,而是过分依赖于函数本身的形状,但事实上,函数本身的形状并不重要(【泛函】更重要,在这个问题上)

this is natural. 研究物理问题时,我们已经建立了基本意识:能量要比物质运动本身更“物理”一点,要确定一个所谓“物质”是否存在,也就是要看它是否有能量。而从数学角度来看则更清楚:Gibbs phenomenon并不违反【Hilbert空间】上【规范正交完备】变换的要求,而后者更贴近于FS的数学本质一些。

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